MPC

Model Predictive Control 模型预测控制
它通过预测系统未来的行为来计算当前的最优控制动作

模型预测控制（MPC）是一种先进的控制策略，它在每个时间步，利用系统模型预测未来的行为，并求解一个优化问题来确定当前的最优控制输入。MPC 的核心思想是滚动优化 (Receding Horizon Optimization) 和反馈校正 (Feedback Correction)，使其能够处理复杂的约束和多变量系统，在机器人、自动驾驶和工业过程控制等领域得到广泛应用。

一、核心思想：预测未来，优化当下

MPC 的核心思想可以概括为：

预测 (Predict): 在当前时间步 $t$ ，利用系统的数学模型，根据当前的系统状态和未来一段时间内的控制输入序列，预测系统在未来预测时域 (Prediction Horizon) 内的行为。
优化 (Optimize): 在预测时域内，求解一个优化问题，找到一个最优的控制输入序列，使得某个性能指标（如跟踪误差、能耗）最小化，同时满足所有系统约束（如执行器限制、安全边界）。
执行 (Execute): 只执行优化得到的控制序列的第一个控制输入。
滚动 (Recede): 在下一个时间步 $t + 1$ ，重新测量系统状态，并重复上述过程。预测时域会向前滚动，因此 MPC 也被称为“滚动时域控制”。

二、基本原理

1. 预测模型 (Prediction Model)

MPC 依赖于一个准确的系统模型来预测未来的状态。这个模型可以是线性的或非线性的，离散的或连续的。例如，对于一个简单的线性系统：

x (t + 1) = A x (t) + B u (t)

其中 $x (t)$ 是系统状态， $u (t)$ 是控制输入， $A, B$ 是系统矩阵。

2. 滚动优化 (Receding Horizon Optimization)

在每个时间步 $t$ ，MPC 会：

定义一个预测时域 $N_{p}$ : 预测未来 $N_{p}$ 个时间步的系统行为。
定义一个控制时域 $N_{c}$ : 在未来 $N_{c}$ 个时间步内优化控制输入（通常 $N_{c} \leq N_{p}$ ）。
求解优化问题: 找到一个控制序列 $U^{*} = [u^{*} (t), u^{*} (t + 1), \dots, u^{*} (t + N_{c} - 1)]^{T}$ ，使得目标函数最小化，并满足所有约束。

3. 反馈校正 (Feedback Correction)

MPC 的鲁棒性来源于其反馈机制。在每个时间步，MPC 都会重新测量系统的实际状态，并将其作为下一次优化的起始点。这使得 MPC 能够纠正模型误差、外部扰动和未建模动态的影响。

三、数学公式：优化问题

MPC 在每个时间步求解的优化问题通常是一个约束优化问题：

min_{u (t), \dots, u (t + N_{c} - 1)} J (x, u)

目标函数 $J (x, u)$ : 通常包含两部分：

状态跟踪误差: 衡量预测状态与期望轨迹之间的偏差。
控制输入成本: 惩罚过大的控制输入或控制输入的剧烈变化。

J (x, u) = \sum_{k = 1}^{N_{p}} ∥ x (t + k) - x_{r e f} (t + k) ∥_{Q}^{2} + \sum_{k = 0}^{N_{c} - 1} ∥ u (t + k) ∥_{R}^{2}

其中 $Q, R$ 是权重矩阵。

约束条件:

系统动力学: $x (t + 1) = f (x (t), u (t))$ (由预测模型给出)。
状态约束: $x_{min} \leq x (t + k) \leq x_{max}$ (如机器人关节角度限制)。
控制输入约束: $u_{min} \leq u (t + k) \leq u_{max}$ (如电机力矩限制)。
碰撞约束: 机器人不能与障碍物发生碰撞。

四、优缺点分析

优点 (Pros)	缺点 (Cons)
处理多变量系统：能够同时处理多个输入和输出，并考虑它们之间的耦合。	计算成本高：在每个时间步都需要求解一个优化问题，对于实时应用可能计算量过大。
处理约束：能够显式地处理系统状态和控制输入的各种约束。	依赖精确模型：模型的准确性对 MPC 的性能至关重要。模型误差可能导致性能下降。
在线优化：在每个时间步重新优化，具有很强的适应性和鲁棒性。	超参数选择：预测时域、控制时域、权重矩阵等参数的选择对性能影响很大。
预测能力：能够预测未来行为，提前采取措施应对潜在问题。

五、应用领域

MPC 因其强大的处理复杂约束和多变量系统的能力，在许多领域得到广泛应用：

机器人控制: 机器人轨迹跟踪、运动规划、无人机控制。
自动驾驶: 车辆路径跟踪、避障、自适应巡航控制。
工业过程控制: 化工过程、电力系统、炼油厂等。
航空航天: 飞行器控制。